Publisher's Synopsis
Dieses Dokument richtet sich an Schüler der Jahrgangsstufen 11 und 12, die Interesse an der Mathematik haben und tiefer in die Analysis vordringen wollen. Dieses Script eignet sich zudem gut als Vorbereitung auf ein Studium der Mathematik, Physik oder einer Ingenieurswissenschaft. Daher ist das Niveau dieses Manuskripts zwischen dem der gymnasialen Oberstufe und dem universitären angesiedelt. Zunächst wird in Kapitel 0 eine gemeinsame Basis geschaffen, in dem aus einer etwas allgemeineren Sicht die Körperaxiome, die Potenz- und Logarithmusregeln gezeigt und auf das Beweisprinzip der vollständigen Induktion eingegangen wird.Mit einer Einführung in die Mengenlehre, die Grundlage der modernen Mathematik ist, soll über die anfänglichen Schwierigkeiten in der Notation und Formulierung mathematischer Sachverhalte hinweggeholfen werden. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit dem Körper der komplexen Zahlen. Hier werden ihre grundlegenden Eigenschaften entwickelt und bewiesen. Beginnend mit der Betrachtung von Folgen und der Einführung des Konvergenzbegriffs wird die Basis für die Formulierung des Differentialquotienten als Grenzwert konvergierender Folgen von Sekantensteigungen gelegt. Schrittweise werden grundlegende Eigenschaften des Differenzialoperators gezeigt und fundamentale Rechenregeln der Differenziation entwickelt. Als klassische Anwendung der Differentialrechnung wenden wir uns dann der Kurvendiskussion zu und leiten die Kriteria für charakteristische Punkte von Funktionen her, wie Extremalpunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte. Als Anwendung der Differentialrechnung wenden wir uns dann der Kurvendiskussion und den Extremwertproblemen zu. Schließlich wird mit dem Newtonverfahren eine typische Anwendung der Differenzialrechnung aus der Numerik zur approximativen Lösung nicht-linearer Gleichungen gegeben.Zuletzt wird die Regel von de l'Hospital zur Bestimmung von Grenzwerten in problematischen Bereichen behandelt. Unendliche Reihen bilden die Basis für die Einführung des Riemann-Integrals als Grenzwert Riemannscher Summen. Wir nähern uns dabei dem Integral aus der geometrischen Deutung her an, in dem das Integral als Flächenmaß eines Gebiets zwischen Funktionsgraph und Abszisse dargestellt wird. Mit der Betrachtung von Rotationskörpern werden schließlich die Volumenformeln von Kegel und Kugel hergeleitet. Zuguterletzt wird eine Exkursion in die klassische Mechanik gemacht und mithilfe der Sätze der Differential- und Integralrechnung die Erhaltungssätze des linearen Impulses und der Energie formuliert und das Weg-Zeit-Gesetz hergeleitet.
